执笔人：金靖 谢秋锋 汪星明 李建 刘子渊 任舍予 韩文弢 赵启阳

作者说明：本报告在以往对题目知识构成进行分析的基础上，结合 NOIP 2025 题目及参赛选手得分情况，进一步尝试从主要考查点、能力要求、难度梯度以及成绩统计等方面进行分析，以提供更加完整的参考。上述内容为本次报告所作的探索性尝试，以期为今后 NOI 系列比赛和活动的相关分析积累经验、提供借鉴。

2025年度全国青少年信息学奥林匹克联赛（NOIP）于2025年11月29日举行。本报告将从《全国青少年信息学奥林匹克系列竞赛大纲》（NOI大纲）出发，对NOIP 2025的四道机试题目进行分析。报告将详细分析每道题目的主要知识点、得分分布、难度系数设置以及题目设计对选手的能力要求，最后对题目的知识构成和思维难度做出整体分析和总体评价。

NOIP 2025共有4道题目，分别为：糖果店（candy）、清仓甩卖（sale）、树的价值（tree）、序列询问（query）。四道题目涉及的主要知识点统计如表1所示。

表1 NOIP 2025题目所涉主要知识点

主要知识点的学习难度系数分布统计如图1所示。主要知识点的板块分布统计如图2所示。

图1 不同难度系数的知识点数量统计图     图2 不同板块的知识点数量统计图

总体上看，NOIP 2025考查的主要知识点在难度系数上以3级最多，而在板块上则以算法知识点最多，主要知识点的难度系数分布范围从1到8，与NOI大纲的建议考查范围一致。

题目1：糖果店（candy）

本题是NOIP第一题，也是四道题中通过率最高、定位最基础的一题。题意要求在若干种奇偶价格交替的糖果中，用不超过m元购买尽可能多的糖果。

1、知识构成与考查点

本题的部分分涉及的知识点和主要考查点如表2所示。

表2 题目“糖果店”部分分涉及的知识点和主要考查点

本题的“知识点难度系数—可得分数”关系如图4所示（横轴为知识点难度系数，纵轴为不超过该难度的可得分数）。

图3 题目“糖果店”的难度设置折线图

2、难度梯度

本题标准解法的最高知识点难度系数为4级，处于NOIP第一题合理范围内。题目的核心观察是：购买同一种糖果时，每两颗构成价格为x_i+y_i的一组，而最终答案中只有若干种糖果可能额外多买一颗，其额外代价分别为x_i。因此可先求所有x_i的排序前缀和，再枚举额外购买一颗的种类数，用剩余预算以最小的x_i+y_i成对购买，得到答案。

本题的部分分设置较为合理平滑。前5个测试点用极小规模帮助选手建立模型，6~13号测试点的数据范围可使用DP算法获得65分；14号测试点在x_i=y_i的情况下提供直接贪心分；15~18号测试点要求选手完成主要结构转化；最后2个测试点把数据范围扩大到10¹⁸，强调实现时的整数范围意识。这样的层次既照顾了基础选手，也给能够较快发现结构的选手提供了稳定拿满分的路径。

从全国得分分布看，本题满分比例接近40%，90分及以上比例超过60%，整体区分度主要体现在低分到中高分段。作为第一题，它没有引入复杂数据结构或长思维链，更多考查读题、建模、贪心合理性证明和边界实现。若选手只停留在按预算动态规划的层面，通常可以获得较高部分分；若能把奇偶购买拆成“最便宜的若干个单颗”和“最便宜的两颗组”，则可以顺利完成标准解法。

3、得分统计

本题的得分统计如图3所示。

从得分情况来看：本题共10138份有效成绩，满分人数为4037人，占39.83%；90分及以上人数为6421人，占63.34%；中位数为95分，平均分为83.02分。这说明多数选手能够完成主要算法或在部分分中取得较高分数，本题较好地承担了第一题应有的基础得分与热身作用。少量失分主要集中在没有完全识别奇偶结构、特殊性质迁移不充分，以及10¹⁸ 预算下的整型范围问题。

图4 题目“糖果店”的得分统计

4、总体评价

本题作为NOIP第一题，难度定位准确，部分分梯度清晰，有效发挥了考查基础能力与普及的作用。主要考查枚举、动态规划、贪心与排序等基础知识，最高难度系数不超过4级，符合大纲要求。区分度良好，满分率接近40%，中高分段集中，失分多源于整数溢出或结构识别不全，整体上是一道定位合理且设计良好的题目。

题目2：清仓甩卖（sale）

本题是NOIP 2025的第二题。正解涉及贪心分析、“正难则反”的组合计数模型与双指针优化，所考查的知识点主要包括贪心法、加法原理、组合、杨辉三角、模运算与取余、前缀和、深度优先搜索。所涉知识点难度均不超过大纲规定的NOIP考试所要求的难度。

1、知识构成与考查点

本题的部分分涉及的知识点和主要考查点如表3所示。

表3 题目“清仓甩卖”部分分涉及的知识点和主要考查点

本题的“知识点难度系数—可得分数”关系如图6所示（横轴为知识点难度系数，纵轴为不超过该难度的可得分数）。

图5 题目“清仓甩卖”的难度设置折线图

2、难度梯度

本题所考查的知识点的最高难度系数为 5 级，与大纲关于NOIP题目知识点难度的建议相一致。题目不仅考查了选手的基础代码实现能力，还深入考查了选手在极小权值背包模型下的贪心修正、“正难则反”的数学建模能力，以及严密的组合计数与代数化简功底。

客观来看，本题得分呈现低分与高分两极分化的现象，中段分数的得分人数较少（40~80分段断层），主要源于本题在考场上存在三个较为陡峭的思维跃迁点：

第一，底层模型认知的局限（背包变种下的贪心微调）。本题的底层模型是重量受限于{1,2}的特殊带权背包问题。在这类特殊背景下，经典的贪心策略在绝大部分情况下是正确的，仅在特殊条件下需要微调。“基于贪心策略局部微调”的背包范式，在常规训练中并非完全陌生——熟悉这一范式的选手往往可以立刻得到本题的关键结论；但对多数选手而言，将其迁移到本题的定价—贪心结构、即时提炼出失效边界，仍是一道不低的门槛，这种“见过但不熟”的状态构成了考场上隐性的认知分层。

从实际得分数据看，具备朴素算法实现能力的选手（得分集中于 20~28 分，约占 25.2%）大多没有拿下性质 B 的“全部合法”结论或m=2 等易得部分分——理论上朴素算法（20 分）叠加这些特殊性质结论可达 40 分以上。这提示选手在考场高压下结合复杂部分分表格制定策略的能力仍有待加强：部分分的“易得性”不仅取决于其自身难度，更取决于选手能否将其与题目结构准确对应。

第二，“正难则反”策略。要突破传统的搜索与模拟，选手必须具备深刻的题目性质理解力。正向推导合法的定价方案由于分类繁杂难以入手；相反，不合法的情况特征高度唯一：即由于剩余1元钱，导致贪心策略跳过了一个原价较高且定价为2元的物品，而这省下来的2元空间最终被用于购买了两个原价加起来更低的、定价为1元的物品（其中一个是该被跳过物品之前倒数第二个购买的1元物品，另一个是跳过它之后最后购买的1元物品），或者未购买物品中不存在另一个1元物品花费剩余的1元钱，导致其仅被用于购买一个性价比更高但原价更低的1元物品，而2元可以来购买一个性价比低但原价超过那个购买的1元物品的2元物品。只有分析出这一唯一的失效条件，才能明确“总方案数减去不合法方案数”是唯一可行的路径。这一转化对选手的分析建模能力要求较高。

第三，组合计数优化。即使选手成功建立了不合法状态的计数模型，从朴素复杂度推至满分的路径依然充满挑战。依照常规推导：

O (n⁴)阶段：需要枚举被跳过的高原价2元物品、该物品前序最后购买的 1 元物品、后续购买的 1 元物品，以及前序区间内定价为 2 的物品数量。

O (n³)阶段：观察到后续购买的 1 元物品所受的限制仅是一个后缀区间，因此可以利用后缀和性质消除对该物品的枚举。

O (n²)满分阶段：此时需要进一步消除对“前序区间内 2 的数量”的枚举。这一步要求选手具备极强的数学功底或组合直觉——要么通过列出不同数量对应的组合数乘积，利用范德蒙德卷积等恒等式进行代数化简；要么需要较高的数学灵感，赋予其一套全新的组合解释（例如：先对前序区间统一预支1元的基础代价，再将剩余的预算作为“升价标记”在区间内重新组合分配）。这种从O (n³) 到O (n²) 的优化门槛极高，不仅导致了中等复杂度代码在考场上的罕见，也直接造成了得分的两极分化。

3、得分统计

本题的得分统计如图5所示。

从得分情况来看，本题的实际平均分为18.34分，中位数仅为8分。约四分之一（25.2%）的选手得分集中在20~28分；40~80分段仅占约5.7%；满分率为5.94%；0 分占比 38.4%。得分分布呈现两端集中、中间分段人数较少的结构。从解题路径看，由“正向模拟”过渡到“反向组合计数”需要额外的推导，这是 20~28 分与更高分段之间的主要思维难点。

图6 题目“清仓甩卖”的得分统计

4、总体评价

《清仓甩卖》是一道极具深度和思维美感的佳题。本题以大纲中学习难度较低的背包型动态规划为起点，在极小权值场景下考查了背包模型的贪心失效条件、“正难则反”的数学思维、组合计数模型的构建与优化等内容，在思维层面上对选手能力进行考查，并可加深选手对于动态规划与贪心等知识的关联与区别。整道题的推理环环相扣——从贪心失效条件到“正难则反”的转化，再到组合计数的逐级优化，每一步结论都简洁而深刻，是一道用经典模型考出思维深度的代表性题目。本题作为第二题，对选手思维能力要求偏高，或可考虑适当调整难度梯度，以更好地兼顾中间水平层次选手的区分效果。

题目3：树的价值（tree）

本题是NOIP第三题，也是四道题中综合难度最高的一题。部分分设计优秀，层层递进，与解题的思维链紧密贴合，但每一步都具有较高的难度。整道题从贡献拆分到动态规划设计，再到树链剖分与数据结构优化，环环相扣，全面考查了选手在组合数学建模与复杂算法设计上的综合素养，是一道极具区分度和选拔价值的高难度试题。

1、知识构成与考查点

本题的部分分涉及的知识点和主要考查点如表4所示。

表4 题目“树的价值”部分分涉及的知识点和主要考查点

本题的“知识点难度系数—可得分数”关系如图7所示（横轴为知识点难度系数，纵轴为不超过该难度的可得分数）。

图7 题目“树的价值”的难度设置折线图

2、难度梯度

本题综合考查动态规划与优化、组合数学、树链剖分、树状数组等多个算法和知识点，贡献拆分与转换等组合数学思想。相对其他三题，本题的思维链较长，全面深入考查选手对组合对象的分析与解构，以及对此进行算法设计的能力。

本题的部分分设计自然而合理，对标准解法的长思维链中的每一步优化都设置了相应分数，兼具一定的引导作用。前12个测试点引导选手先得出仅与点数n有关的高复杂度做法，测试点 1～6 可用暴力枚举、子集DP等指数级做法通过；测试点 7～12 让O (n⁴) 或O (n³) 时间复杂度的树上DP做法通过。后13个测试点引导选手向与树高有关的方向考虑，同时要求选手作出“先选定重儿子”的树链剖分巧妙转换，具有一定难度。测试点 13～19 使朴素的O (nm²) DP通过，测试点 20～25 为在此前基础上的进一步观察与优化。测试点 8～10、13～17 给潜在的高复杂度部分分做法，或者复杂度正确，但常数太大的部分分做法留下了得分空间。

然而，每一档部分分本身的难度都较高，高于32分的分数至少需要选手有分析和拆分贡献的能力，接近省选与NOI要求；高于56分的分数至少需要选手能进行树链剖分的巧妙转化，并设计复杂DP，对选手的思维能力是极大的考验。这使得本题的主要区分度聚焦在高水平段，冲击省队与NOI奖牌的学生中。考虑到第二题也有较高的难度，使得处于关键位置的这两道题对中等水平的选手都难以展现足够的区分度。

3、得分统计

从得分数据分析可知：获得至少24分的暴力分的选手仅有8.3% ；获得48及以上（即第一种多项式DP的完整分数）的人数为431人，接近NOI正式参赛人数。获得60分及以上（即至少通过了最后11个测试点中的一个，意味着选手必定在树链剖分转化后的DP上有所突破）的人数为125人，可对应NOI中位银牌，这也高于绝大多数省份历年的省队线水平。而最后获得满分人数仅为31人。综合来看，此题主要为有能力冲击省队的选手提供区分度，实力不足以进入省队的选手难以在此题拿到有竞争力的分数。考虑到此次NOIP第二题也较为困难，通过人数约600人，留给第三题的时间不多，也给此题低档部分分的得分率产生一定影响。

本题的得分统计如图8所示。

图8 题目“树的价值”的得分统计

4、总体评价

本题的贡献转换、DP优化与数据结构优化并不常见，但选手可以通过观察与分析得出，体现此题注重考查选手的算法思维而非单纯知识记忆。本题在 NOI 大纲对NOIP试题的要求难度基础之上略有提升，并对多板块知识点的综合运用能力提出了较高要求。

题目4：序列询问（query）

本题是 NOIP 2025 第四题，也是四道题中综合难度第二高的题目。其部分分设计梯度清晰、层层递进，完整贴合区间类问题从朴素算法到优化的核心思维链，同时对选手的数据结构理解、区间性质拆解与综合算法设计能力设置了阶梯式的门槛。本题核心考查前缀和、ST 表、单调队列、分块等多个算法与数据结构知识点，对选手的代码实现能力与细节把控能力也提出了较高要求。考虑到本次 NOIP 第二题、第三题均具备较高的思维难度，多数选手留给本题的作答时间相对有限，也直接影响了本题中高分数段的整体得分率。

1、知识构成与考查点

本题的部分分所涉及的知识点和主要考查点如表5所示。

表5 题目“序列询问”部分分涉及的知识点和主要考查点

本题的“知识点难度系数—可得分数”关系如图9所示（横轴为知识点难度系数，纵轴为不超过该难度的可得分数）。

图9 题目“序列询问”的难度设置折线图

2、难度梯度

本题标准解法的知识点最高难度系数为8级，符合大纲规定的 NOIP 考试所要求的难度要求。本题综合考查前缀和、双端队列、ST 表、单调队列、分块等多个算法与数据结构知识点，以及区间贡献拆解、性质分析与多方法融合的算法思维。相对本次考试的其他题目，本题对选手的数据结构综合运用能力要求最高，全面深入考查选手对区间求和与最值问题的拆解分析能力，以及对应算法的设计与代码实现能力。

本题的部分分设计自然而合理，对标准解法的完整思维链中的每一步优化都设置了对应分数，兼具清晰的引导作用。前 3 个测试点引导选手先得出仅与序列长度 n 和询问组数 q 相关的高复杂度暴力做法，测试点 1 可用纯暴力枚举模拟的做法通过，测试点 2~3 可通过基础递推优化的暴力做法通过；测试点 6~10 引导选手挖掘区间计算的单调性性质，使用双端队列（单调队列）优化暴力做法，完成半暴力的中档解法。后 10 个测试点引导选手向分治、分块等更高效的区间处理算法方向探索，大幅降低算法的时间复杂度，测试点 4~5 与 11~15 可通过前缀和配合分治算法的朴素做法通过，测试点 16~20 为在此基础上的进一步观察与优化，需要选手运用分块思想融合多数据结构完成最终的满分解法。同时，测试点 4、11~12 也为潜在的高复杂度部分分做法，或复杂度正确但常数较大的做法预留了得分空间，兼顾了不同水平选手的作答情况。

然而，本题各档部分分之间的难度跨度较为明显，拿到 40 分以上的分数需要选手具备区间性质分析与基础数据结构优化的能力，已接近省选基础要求；拿到 75 分以上的分数需要选手熟练掌握分治算法处理区间问题的核心思想，对选手的算法思维能力有较高要求；而满分做法需要选手熟练运用分块思想，并能灵活融合多种数据结构处理复杂区间询问，对选手的综合能力提出了极高的挑战。这使得本题的核心区分度主要聚焦在中等偏上至顶尖水平的选手区间，尤其是为有能力冲击省队的选手提供了清晰的能力分层，而仅掌握 NOIP 入门级知识点的选手难以在本题拿到有竞争力的分数。同时，受本次考试前序题目难度较高的影响，多数中等水平选手留给本题的作答时间不足，也使得本题对中等水平选手的区分度有所降低。

3、得分统计

从得分数据分析可知：本题0分人数高达7042人，占比约68.9%，反映出在本次考试前序题目难度较大、作答时间受限的情况下，多数选手未能有效作答本题。获得5分及以上的选手约占总人数的31.1%，其中5分段人数为1177人，是除0分之外人数最多的分数段，说明相当一部分选手仅能完成最基础的暴力枚举或模拟做法。获得20分及以上（即初步运用递推或单调队列优化）的人数约为1400人，占比约13.7%；获得40分及以上（即掌握分治思想处理区间贡献）的人数约为470人，占比约4.6%；而获得75分及以上的高分选手不足150人，满分人数仅为56人。综合来看，本题的得分重心明显偏低，核心区分度主要集中于中等偏上至顶尖水平的选手区间，能够完整走通从暴力到分块优化的思维链条并拿到高分的选手极为有限。考虑到本次NOIP第二题、第三题均具备较高的思维难度，多数选手留给本题的作答时间不足，也直接影响了本题中高分数段的整体得分率。

本题的得分统计如图10所示。

图10 题目“序列询问”的得分统计

4、总体评价

本题的区间贡献拆解、分块思想与多数据结构融合优化的思路，并非区间类问题的模板化考法，但选手可通过对题目性质的逐步观察与分析推导得出，充分体现了本题注重考查选手的算法思维与问题分析能力，而非单纯的知识点记忆与模板套用。本题考查了NOI大纲对NOIP题目的最高难度要求，对选手多板块知识点的综合运用能力、代码实现能力与细节把控能力均提出了较高的要求。

结论

综合以上四道题目的详细分析与评价，NOIP 2025 在整体设计上充分体现了信息学竞赛对知识综合运用与思维深度的核心要求。从知识点覆盖来看，试题广泛涉及多个板块，既有基础算法与数据结构的扎实考查，也有高阶模型构建与复杂优化的深度挖掘。在难度分布上，第一题稳扎稳打，为绝大多数选手提供了良好的得分起点；第二题以精妙的贪心失效条件与组合计数为切入点，对逻辑推理与数学建模提出了较高挑战，得分呈现明显的两极分化；第三题和第四题则分别从树形结构与区间处理出发，引入了难度系数较高的知识点，将核心区分度集中在具备省队乃至NOI竞争力的高水平选手层次。这种设计保证了基础水平的有效衡量，也为高分段选手设置了充足的区分空间，但由于部分题目中档部分分门槛较高、中等难度过渡段的衔接性略有不足，再叠加考场时间分配等客观因素，因此在中等水平选手的区分度方面有待加强。

值得肯定的是，全卷四道题目均非对经典模板的机械复现，而是通过新颖的情境包装、巧妙的性质转化和多知识点融合，引导选手经历从问题抽象、模型构建到算法优化、边界处理的完整思维过程。这种命题取向与NOI大纲倡导的“淡化刻板套路、强化思维培养”方向高度一致，有助于推动信息学教学从应试训练向思维训练转变。未来命题可在保持思维深度的同时，进一步优化部分分设置的梯度平滑性，使更多选手能在有限时间内获得与其能力相匹配的分数，从而更全面地反映不同层次选手的真实水平。总体而言，NOIP 2025总体区分度较为合理，但对于部分水平层次选手的区分度有待改进，为后续的竞赛命题与教学实践提供了极具价值的参考范例。

报告执笔人

金 靖 华东师范大学第二附属中学

谢秋锋 长沙市长郡中学

汪星明 北京十一学校

李 建 杭州第二中学

刘子渊 北京十一学校

任舍予 清华大学

韩文弢 清华大学

赵启阳 北京航空航天大学

1 此处测试点编号不连续，因均涉及相同知识点，故归在一类。

2 此处测试点编号不连续，因均涉及相同知识点，故归在一类。